Математика азартных игр

Чтобы понять, о чём пойдёт речь далее на страницах сайта, я рекомендую вам познакомиться с основами математики азартных игр. Если у вас всё хорошо с теорвером и матстатом, если вас не пугают термины "матожидание" и "дисперсия", то можете сразу перейти к следующим разделам.

Итак, любая азартная игра - случайный процесс. В идеале выпадения костей, карт из колоды или чисел на рулетке равновероятны. Возьмём любимую игру многих россиян - рулетку. Там 37 чисел от 0 до 36. Довольно большое количество возможных ставок (от одного числа до ставки на шансы). Возьмём ставку на шансы, например, на цвет. Вы ставите 1 фишку на красное. На рулетке 18 красных чисел, 18 чёрных и одно зелёное зеро. Вероятность выпадения каждого из чисел одинаковая, соответственно, вы поставите 37 фишек, в среднем(!) выиграете 18 фишек (выплаты по ставке на шансы 1 к 1) и 19 проиграете. Получается, поставив 37 фишек в итоге в среднем вы проиграете одну фишку, то есть ожидаемый проигрыш 1 фишка из 37 поставленных =1/37. Можно сформулировать наоборот, что из 37 ставок 36 вернётся вам в качестве выплат, получается, что средний процент выплат в рулетке - 36/37. Вот эта величина 36/37 или примерно 97,3% и является математическим ожиданием (матожидание, МО) выплат в такой игре как рулетка. 1/37=1-36/37=2,7% (примерно) - эта величина называется преимуществом казино. В большинстве игр процент выплат меньше ста, то есть казино имеет преимущество. Но изредка игроки могут  повернуть ситуацию в свою пользу и сделать так, что выплаты превышают 100%, в этом случае говорят, что у игры преимущество игрока (преимущество игрока в 0,1% означает, что выплаты составляют 100,1%).

Но то, о чём я говорил выше - это средние цифры! Понятно, что за 37 спинов рулетки вряд ли выпадет ровно по 18 красных и чёрных и одно зеро. То есть практические результаты вероятно будут отличаться от средних ожидаемых. Отклонение факта от теории называется дисперсией. Дисперсия это не только общее понятие отклонения, но и количественная величина, также как и среднеквадратичное отклонение, но их формулы я приводить не буду, большой пользы нет. Дисперсия отличается в зависимости от игры и даже от ставок в одной игре. В той же рулетке представьте, что вы будете ставить по одной фишке на числа либо на шансы. Матожидание в рулетке по всем ставкам одинаковое - 97,3%, а вот дисперсия будет разная. При ставке на шансы вы будете то проигрывать, то выигрывать, за 37 спинов вы вряд ли будете в плюсе или минусе более чем на 5-7 фишек. А вот при ставке на числа вы можете выиграть сразу же в одном из первых спинов, и будете более чем на 30 фишек в плюсе. А может быть наоборот - 37 спинов без "нужного" числа, и вы - в большом минусе. В общем-то, благодаря дисперсии игрок и может быть в плюсе на короткой дистанции. Однако законы теории вероятности гласят, что чем больше мы играем, тем ближе наши результаты будут к математическому ожиданию. Если вы ставите на шансы, то после одного спина вероятность быть в плюсе близка к 50%, после 100 спинов - порядка 37%, а после 1000 спинов уже меньше 20%. В среднем после 1000 спинов вы будете в минусе на 1000*2,7%=27 фишек, но как видите, при определённом везении можете этот минус отыграть. Если вы ставите на числа, то вероятность быть в плюсе после 1000 спинов выше - около 30%, это и правильно, ведь этот вид ставок более дисперсен, возможны большие колебания, значит вы чаще сможете перейти через тот самый барьер в -27 фишек. Но не надо думать, что дисперсия - это только хорошо. Высокая дисперсия означает, что вы чаще будете не только в крупном плюсе, но и в крупном минусе. Ну а на длительной дистанции в десяток тысяч игр вы максимально приблизитесь к матожиданию, и шансы оказаться в плюсе будут около нуля.

Соответственно, если мы говорим о дисперсии, то нельзя забывать о таком параметре как "риск банкротства", то есть вероятности проиграть все свои деньги на определённой дистанции. Это то, что игроки называют "банкрол менеджмент". Вы должны знать, какие ставки вы можете себе позволить, имея определённый банк, чтобы не проиграться. Ибо обидно будет, если вы придёте с $100, и за пол часа проиграете всё в плюсовую игру, играя по $10. Ну по крайней мере вы должны понимать, какая вероятность, что вы уйдёте не с выигрышем, а с пустым карманом.

В общем-то для игры вам не надо уметь вычислять матожидание и дисперсию, это уже сделали специалисты до вас, вы можете пользоваться готовыми цифрами. Вы должны понимать главное - чем больше матожидание игры (меньше преимущество казино), тем лучше для вас. Тем дольше вы сможете играть, тем больше ваши шансы на выигрыш. В идеале вы должны искать игры с преимуществом игрока, тогда на дистанции вы можете ожидать выигрыша. Но говоря о "плюсовых" и "минусовых" для игрока играх нельзя забывать одну истину - существует дисперсия. Чем она выше, тем сильнее вас будет "колбасить" в игре. Даже в игре с преимуществом игрока вы будете проигрывать отдельные сессии (так как преимущество обычно невелико, то проигрыши будут нередкими), и даже в игре со значительным преимуществом казино (типа заряженных слотов в подвальных залах игровых автоматов) вы можете выиграть. Но чем дольше вы играете, тем ближе будете к тому, что должна вам дать игра в соответствии с её матожиданием.

Я считаю, что успешный игрок должен быть с математикой "на ты". Учебники по матстату и теорверу рекомендовать не буду, сами найдёте, но советую вам "побаловаться" с программой Gambler Odds, она графически покажет многие математические параметры для разных игр и методик ставок - интересное и полезное зрелище.

Ваши комментарии:

Здесь вы можете оставить свои комментарии либо вопросы по математике азартных игр. Честно предупреждаю, что все сообщения проходят премодерацию. Спамить бесполезно, такие сообщения никогда не появятся на страницах сайта. В свою очередь я буду стараться как можно быстрее публиковать нормальные сообщения, при необходимости - с моими собственными комментариями или ответами.

А что Вы скажете о таких современных казино как битслер, праймдайс или 999дисе? Интересно будет прочитать ваше мнение.
У подобных сайтов есть свои плюсы и минусы... Плюсы: ниже доля заведения (несколько десятых процента, в несколько раз выше, чем в классических казино), в принципе, есть возможность проверить честность игры (хотя кто ей пользуется?). Ну а главный минус, конечно, отсутствие регулирования. Правда, и онлайн казино иногда исчезают с деньгами игроков, но казино с лицензией и именем, члены нормальной группы практически гарантированно заплатят и не пропадут. А тут кошельки биткоин-казино могут быть, например, взломаны, как уже было с биржами, и всё, денег нет... А могут и просто владельцы с деньгами убежать, если вдруг что-то случится... Ну и, конечно, мартингейл и прочие системы там не более работоспособны, чем в обычной рулетке.
В общем, моё мнение - играть вполне можно, но большие деньги лучше не держать, во избежание. Для заработка не использовать, как и обычное казино. Кто любит халяву, пусть пробует подниматься с сотен бесплатных сатош, что дают такие сайты, заодно и поймёт, можно ли что-то поднять мартингейлом, хоть в ручном режиме, хоть на автомате ;).
Ребята, играл очень долго в блекджек, сделал ставок на миллион рублей, в итоге проиграл 80.000 руб. Ставки делал по 1000 руб., играл по базовой стратегии. Интересно стало просто: все говорят, что базовая стратегия снижает преимущество до 0.5 процентов. Получается, я должен был проиграть 5000 руб., а проиграл 80 тыс. Как так получилось, не могу понять. Может я что не понимаю?
Если играли по базовой стратегии, и правила игры стандартные, то всё верно, ожидаемый проигрыш около 5 тысяч. У нас есть два варианта: сильно не повезло, или казино не очень честно играет. Расчёты показывают, что вероятность проиграть 80 ставок вместо 5 при честной игре со стороны казино составляет около 2%. Немного, но и не сказать, что событие невероятное. Хотя лично я бы при таких результатах всё-таки призадумался о честности игры.
Если длинные дистанции игр всегда соответствуют мат. ожиданию, почему тогда при сливах и последующих депозитах игрок не достигает первоначального уровня, путь даже до -20%, а чаще всего продолжает сливать на протяжении многих лет? Получается, мат. ожидание не -5 или -10%, а -миллионы%?
Правильнее сказать, на длинной дистанции результат стремится к матожиданию. Что касается вопроса, то помните, как считается матожидание? Наши -2,7% в рулетке, это отношение проигранных денег к поставленным (а никак не к депозиту, хоть первому, хоть суммарному). То есть сделал ставок на 100 рублей - проиграл в среднем 2,7. Сделал ставок на 100 тыс. - проиграл 2700. Никаких миллионов процентов быть не может, физически нельзя проиграть больше, чем было поставлено :). Ну и действительно, чем больше играешь, тем больше проигрываешь и меньше шансов "отскочить".
Есть такое понятие как статистическая устойчивость, памяти нет, а устойчивость есть :). Если играть на черное/красное, чему будет равна дисперсия и среднее отклонение от МО в цифрах?
Если верить Вики, то статистическая устойчивость - несколько устаревшая гипотеза, относящаяся к физическому миру, а не играм. Вообще я предпочитаю использовать формулу Бернулли для руля - это самый правильный вариант. Но вообще СКО по идее два корня из число спинов*18/37*19/37. Правда, чем меньше спинов, тем дальше распределение от нормального и использование СКО тем менее корректно.
Мне приятно читать действительно правду о рулетке, а не то говно, которое в основном пишут, есть одна фишка, дисперсию можно высчитать, вращая рулетку в холостую, а уже потом начинать ставить.
Спасибо за отзыв о сайте! Но боюсь, холостые спины ничем не помогут. У случайной рулетки "памяти" нет, а в неслучайных играть в принципе не надо.
Я играл в казино одно время по разным системам, и недавно мне друг расказал новую систему, как привязывать числа. Числа сами по себе просто так не выподают, это факт, даже если вы играете с живым дилером. Благодоря новой системе, о которой знают только несколько человек, я живу в шиколаде.
Ой, я прям завидую-завидую! :) Обычно после такого сообщения следует "щедрое" предложение поделиться с желающими супер-пупер секретом, конечно, за скромную (или не очень) плату. Только лохи верят в случайность рулетки! Правильные "поцоны" уже давно знают правду и живут в "шиколаде" :)!
Я не играю по системе Мартингейла, у меня своя система, но увеличение ставок я использую. Поэтому, если ещё подскажешь, где есть в долларах диапазон ставок от 5 до 500 (1-300), буду очень благодарен.
Богатый игрок :). Да практически в любом нормальном западном и некоторых отечественных такое найдёшь. Например, в рулетках Плейтека (я смотрел в Тропезе) в шансы 0,1-200, а в видеорулетках и больше. У Майкрогейминга (Голдфишка)- 0,5-500 с лайв дилерами и 2-1000 в Премиум рулетке. Видеорулетки Эволюшена (ВилХил) вообще 1-2400. Наш Гранд даёт 1-250 в обычном зале и крупнее - в ВИП-зале. Советую выбрать хорошее казино на сайте "Честные онлайн казино", скорее всего, там найдёшь нужные лимиты (запустить игры и проверить лимиты можно и без депозита).
Играя в рулетку (цвет), необходимо для ухода от проигрыша иметь максимальное количество ходов, когда постоянно увеличиваешь ставку вдвое при непрухе. Например: от 1 до 300 долл. диапазон ставок (или 5-500). Какие казино дают такую возможность разбега? Назовите хотя бы несколько из честных казино...
Ну для любителей мартингейла, которым деньги карманы жмут, не найти варианта лучше BetVoyagerа. Там вроде до сих пор диапазон на цвета 0,01-1000 евро. Только при регистрации не надо указывать, что из России, недолюбливают там наших. И надеюсь, Влад в курсе, что мартингейл - система на дистанции всё так же проигрышная...
А почему в американской рулетке ставка именно на 5 номеров: 0, 00, 1, 2, 3 имеет отличное от классического для американской рулетки (5,26% для любых ставок) мат. ожидание (7,89%)? Чисто математически - это какой-то абсурд, ведь выборка испытаний (спинов) проводится с тем же полем чисел и по тем же правилам выплат.
Как раз никакого абсурда. Простейшая логика подсказывает, что в отличие от других ставок, 36 на 5 нацело не делится. На данную ставку поставлен округлённый коэффициент 6 к 1 (то есть выплаты как раз другие), что и приводит к ухудшению матожидания. В таких играх как крэпс или сик-бо тоже бросают одинаковые кости, однако МО практически всех ставок разное, причём варьироваться может в диапазоне 1-16%, например, для крэпса.
Не дурите голову людям математикой (что такое число – его не существует, это только у нас в голове что-то такое сидит, и мы понимаем что это 2 или 3). Поймите одно: есть последовательность (определенная последовательность). Если была бы математика (вероятность) все казино сидели бы на жопе. Я вам раньше писал про последовательность и просил Вас рассказать, что такое казино, и как оно работает, но видно не нашел отклика в вашем сердце или не поверили, что это правда 100%. Надо больше поднимать темы на том, что все казино играют не честно (и занимаются в своем большинстве только отмыванием денег) и требовать, что бы их закрывали, а открывали реальное казино (честное), чтобы люди могли не только постоянно проигрывать, но иногда и выигрывать. А вы зазываете людей играть (придумываете какие вероятности, методики), которые в своем большинстве бесполезны и вынуждаете людей тратить средства (многие я знают играют не ради удовольствия, и я в том числе начинал для того, что бы как-то подзаработать, потому, что реально заработка в 150$, как то знаете маловато (я по образованию химик), поэтом когда через 2 дней игры в рулетку в «честном» казино я понял, что все это наеб.., и решил раз вы наеб.. меня, я наеб.. вас, мне потребовалось 1,5 месяца, чтобы его взломать (определить что там последовательность, причем казино работает на очень популярной платформе), оказалось, там всё так просто без всякой математики, и различных дорогих программ, которых, я думаю, не существуют - это развод. Ту последовательность комп предсказать не может, если, конечно, эту программу не писал сам разработчик софта (простые, бесплатные программы рулеточного софта могут приблизить к последовательности но там есть нюансы), только человеческий разум может её предсказать, я назову эту последовательность «мнимой», это как необъяснимый факт существования фотона в двух измерениях, вроде последовательность есть и всё же её нет, и даже когда я начал выигрывать приличные деньги, я столкнулся с другой проблемой - выводом средств. Поэтому все эти казино существуют для отмывания средств определенного контингента людей и все, а простому смертному от них никакого проку. Поэтому будем мы играть там им все равно, видно у них постоянный доход. Вы скажите, зачем он это пишет, если он такой умный, грёб бы деньги или жил бы на островах, но деньги - не цель, а цель в другом…
А может я ошибаюсь в Вас и вы вместе с ними, т.е. в этом бизнесе, поэтому за ранее прошу прощения за затраченное время на прочтения моей ерунды.
Удивительно, человек с техническим образованием, и такое отношение к математике :). Надо было сразу в литинститут, глядишь, сейчас второй "Улисс" был бы написан :). Но пожелаю успехов и в карьере разорителя казино :)!
А для тех, кто хочет понять принципы работы казино, есть масса информации в сети, например, эта статья для начала. Хотя, казалось бы, а этот сайт о чём?
"В общем-то, благодаря дисперсии игрок и может быть в плюсе на короткой дистанции. Однако законы теории вероятности гласят, что чем больше мы играем, тем ближе наши результаты будут к математическому ожиданию."

Как объяснить наглядно понятие "короткая дистанция"? Грубо говоря, я сегодня играю 10 минут, я в плюсе и ухожу. а, допустим, на следующий день? На следующий день я продолжу играть, будет ли это продолжением так называемой "короткой дистанции" либо "короткая дистанция" начнётся заново? И я с большими шансами на выигрыш смогу опять поиграть 10 минут? Или всё же каждая новая игра, сегодня-завтра-через неделю, является новым звеном в "дистанции"?

Каждая новая сессия - новый шаг на пути к "длинной" дистанции. Просто 20 спинов - это короткая дистанция. Но 50 раз по 20 спинов (итого 1000) - это уже дистанция средняя, а 1000 раз по 20 спинов (20 тыс. спинов) - уже весьма долгая.
Поэтому нельзя надеяться, что "вот я стабильно буду выходить на +1 за сессию и буду хоть потихоньку, но идти в плюс". Потому что дистанция возьмёт своё, настанет день, когда пойдёшь в минус с первого спина, не сможешь отыграться и зальёшь больше, чем выиграл до этого.
Na skol'ko bezopasno obi'gri'vat' realnoe kazino? Ya pishu vam iz USA.
Откуда же мне знать, я не выигрывал в казино США :). Ну если верить фильму "21", то до сотни тысяч выигрывать можно спокойно, а потом придёт Лоуренс Фишбурн и будет ломать пальцы :).
А как работает математика в слотах? Например, в блэкджеке можно выиграть максимум 1,5 ставки за раунд, а в покере до 100 ставок за раунд. В слотах же вообще непонятно, так как выигрыши могут быть любыми аж до 10000 ставок и выше. Меня интересует в какие игры лучше играть с точки зрения математики, не в плане мат ожидания, а в плане возможности крупного выигрыша.
Про математику работы слотов можно прочитать в этой статье - http://slot.onlinecasinos.ru/slotmath.htm Вообще, там на сайте много информации по слотам, советую познакомиться, в том числе есть форма для поиска слотов по различным критериям, включая и величину максимального выигрыша.
Что касается крупного выигрыша, то его величину определить просто - по таблице выплат, там есть цифры :). В тех же казино Криптолоджика и Майкрогейминга в лобби максимальные выигрыши уже указаны. Другой вопрос, что узнать вероятность получения крупного выигрыша фактически невозможно, а она ведь может быть и один на миллион :(. Ну а так, если интересуют единоразовые крупные выигрыши, то стоит обратить внимание на игры с бесплатными спинами с умножением выигрыша, а также некоторые слоты с бонусными играми. Ну а вообще, лучше самого никто не скажет, какой слот понравится. Поэтому всегда можно поиграть "на фантики" и оценить, даёт ли игра то, что хочется.
А что вы думаете о проге Roulette Assault?
Про все проги и стратегии игры в рулетку я уже отвечал на странице "Беспроигрышные системы". Это всё трата денег и времени, ибо МО -2,7% в нормальной рулетке ИЗМЕНИТЬ НЕВОЗМОЖНО!
Сколько раз подряд может выпасть один цвет?
Ну теоретически - много. Формула же простая - вероятность выпадения подряд одного цвета (любого) 18/37 в степени количества повторения минус один. Например, 10 цвета подряд в среднем каждые 655 спинов должно выпадать. На практике я слышал, что в одном реальном казино выпало 32 красных подряд (также зафиксировано в Монте Карло 26 чёрных подряд)...